Применение одного мат. метода в физике, food for thought Опции

[M_T]

Тема скорее для "Интересных задач и познавательных вопросов", но в своем подфоруме проще всякий флуд отлавливать, так что положил сюда...

Прелюдия: Не претендуя на точность, можно сказать, что цель науки -- свести все наблюдаемые явления к набору первоначал -- законов, аксиом, постулатов etc., из которых можно было бы вывести все многообразие явлений. Это верно и для физики, и для математики.
Наблюдение: Математик действует по принципу: вывести как можно больше из как можно меньшего. Один из важнейших вопросов: что на самом деле является достаточным для того или иного факта? А вот физик, напротив, решая физическую задачу, почти всегда предполагает все функции хорошими в любом смысле, гладкими, бесконечно дифференцируемыми и т. д. И встречая в курсе ММФ формулировки "пусть функция дважды непрерывно дифференцируема в области D и обладает хотя бы первыми производными на границе" в душе от этого слегка морщится.
Вопрос 1 Почему физику удается так делать? Казалось бы, позиция математика более последовательна?
Вопрос 2 Вполне возможно, что поведение физика можно обосновать. Но дело в том, что математик это делает не только из любви к искусству. Это ведь довольно продуктивный в математике подход, отнюдь не сводящийся к "буквоедству". В чем такое принципиальное отличие физики от математики, что продуктивный в математике метод не внесет в физику ничего нового? Или все же внесет? Может, в физике есть свое буквоедство?

[Jesper]

Банально, но все же: физика изучает этот мир, а не вообще что могло бы быть... Ты вот часто в природе встречаешь функции, которые не обладают свойствами "дважды непрерывно дифференцируема в области D и обладает хотя бы первыми производными на границе"?

да, и еще, бесконечно большие призводные померить еще никому не удавалось

[OlegShvedov]

Сейчас, в современной математике, любую функцию можно дифференцировать сколько угодно раз - в смысле обобщенных функций. Поэтому формулировки типа "дважды непрерывно дифференцируемая функция" - это отголоски той эпохи, когда еще не умели дифференцировать разрывные функции и говорили, что у них нет производной... В современной математике подобных формулировок вообще не должно быть.

[M_T]

Это все, конечно, так. В некотором приближение это -- оправдание, почему физику так можно делать. Он опирается на некоторое интуитивное представление о мире, что в нем (обычно) все гладко.
Хотя, между прочим, математика тоже в любой конкртеный момент времени изучает эту математику -- ту, которая получается из принятых сейчас аксиом. Формально разницы мало.
Можно и так сказать: в физике все так сложно, что мы говорим "давайте решим хотя бы в предположении, что все гладко". А тонкости оставляем математикам.
Можно считать, что с первым вопросом все ясно. Но гораздо интереснее - второй... Почему то, что хорошо в математике, плохо в физике?

То есть так: понятно, почему можно так не делать. Но почему, если делать, лучше не будет?

[Jesper]

2 M_T
Имхо потому что это очень сложно и очень долго...

[ansobol]

Наблюдение: Математик действует по принципу: вывести как можно больше из как можно меньшего. Один из важнейших вопросов: что на самом деле является достаточным для того или иного факта? А вот физик, напротив, решая физическую задачу, почти всегда предполагает все функции хорошими в любом смысле, гладкими, бесконечно дифференцируемыми и т. д. И встречая в курсе ММФ формулировки "пусть функция дважды непрерывно дифференцируема в области D и обладает хотя бы первыми производными на границе" в душе от этого слегка морщится.

В исследовательских статьях по математике вместо этого довольно часто пишут что-то вроде "Будем предполагать, что все функции дифференцируемы нужное число раз". Буквоедство характерно скорее для учебников, причём оно распространилось в последние лет 100. В 19 веке, не говоря уже о временах Эйлера, математики на так называемую строгость обращали гораздо меньше внимания.

Вопрос 1 Почему физику удается так делать? Казалось бы, позиция математика более последовательна?

Физик в конечном счёте ориентируется на природу, поведение которой он пытается объяснить. Если за счёт технического промаха в расчёте получается нефизический результат, он просто вернётся обратно и переделает выкладку аккуратнее. Если результат физичен и тем более если он соответствует эксперименту, это как бы чохом оправдывает любые неаккуратности в его выводе. Поэтому, кстати, в физике масса примеров, когда правильные результаты выводились с грубыми математическими ошибками (навскидку вспоминается статья Шеррингтона и Киркпатрика о "модели Шеррингтона-Киркпатрика" в теории спиновых стёкол, но наверняка можно найти что-то попроще).

Казалось бы, математик, который строит формальную теорию, не может ориентироваться на природу. Можно подумать (и учебники всячески укрепляют в студентах эту иллюзию), что у математика нет другого способа гарантировать корректность своих рассуждений, кроме строгого следования формальной логике в исходно принятой аксиоматической модели. Но на самом деле никто так не работает. Не помню дословно, но В. И. Арнольд в разных местах не раз говорил, что не может написать и двух-трёх страниц формальных построений без ошибок, если не держит в голове пару нетривиальных примеров к теории, которую строит. А примеры - это уже "природа", в том смысле, что это "вещи", существующие сами по себе и совершенно независимые от сознания математика, по "поведению" которых он может проверять свои выкладки. Так что, по-моему, нет такой уж большой разницы между позициями физика и математика.

Хорошие математические работы, как правило, сводятся либо к описанию вновь открытого нетривиального примера или "явления", либо к техническому "фокусу", позволяющему доказать неочевидный результат. Пример из того же ММФ: принцип максимума - это такой "фокус" (или открытое "явление" - зависит от точки зрения); к делу его можно применить, скажем, для доказательства теоремы единственности для эллиптического уравнения, которую принцип максимума делает в общем-то очевидной; а наводить строгость и буквоедствовать, ослабляя условия теоремы, можно почти до бесконечности.

Бывают и такие работы, в которых есть только "фокус", а к делу он не применяется или применяется неправильно (математики тоже нередко печатают ошибочные статьи). Так часто бывает со статьями, открывающими новую область. Но без "фокуса", "наблюдения" или "открытия" математическая работа в большинстве случаев бессодержательна.

(Правда, и в чистом "буквоедстве" может быть содержание. Примерно об этом пишет блоггер sigfpe в статье Two kinds of mathematics.)

Мне лично во всём этом остаётся непонятным, что же именно обусловливает эти самые пресловутые качества "нетривиальности" и "интереса" (и, если на то пошло, "красоты") в математике. Почему одна формально безупречная последовательность аксиом и выводов из них приводит к красивому запоминающемуся результату, а другая есть просто переливание из пустого в порожнее? Тут, по-моему, маячит как раз какое-то принципиальное сходство между физикой и математикой.

Что же касается бесконечных производных, упомянутых Jesper'ом, то мало в математике найдётся более "физичных" объектов, чем дельта-функция Дирака

Олегу: обобщённые функции годятся только для линейных задач. В ОТО, например, они бесполезны (и люди пытаются пользоваться дифференциальными алгебрами Коломбо).

[M_T]

Спасибо за ссылку на текст про два типа математики, очень интересно!
Но пока я его читаю, сразу хочу сказать, что немножко не это "буквоедство" имею в виду. Про нужное число производных -- безусловно, Вы правы, но это просто не очень хороший пример. И про Арнольда Вы правы -- это в точности как принцип Лежена Дирихле: все великие мыслители-математики стремились "вычисления заменить идеями".
Прелесть, конечно, не в формальных рассуждениях. Интересно вот что: возьмем, скажем, гротендиковскую теорию категорий. Это воплощение идеи: "не включайте в свои объекты больше структуры, чем требуется". Нужно ли это? По-моему, это очень мощный для математики метод. Фактически он позволяет провести некоторую иерархию свойств, отделить "более фундаментальные" от "менее".
Пример: очень удобно всю жизнь работать с метризованными пространствами. В них верно все: они и такие, и сякие, и хаусдорфовы, и локально компактны, и я не знаю что еще. Но если строить структуру постепенно -- сначала множество, потом топологическое пространство, потом постепенно навешивать разные качества, мы увидим, какие свойства появляются, когда еще нет почти ничего (=> более фундаментальные), а какие требуют большой науки и в этом смысле не такие интересные.
Вот, скажем, тензорное произведение. Вводя его на языке категорий, мы показываем, что эта штука -- соверешенно универсальная и достойна всяческого изучения. То, что данному понятию не требуется почти никакого фундамента -- хороший критерий его "естественности". Я это как-то длинновато говорю, но, наверное, идея понятна.
Может, такого рода вещи и в физике есть? Ведь это сродни "выцарапыванию" из дивергенций и роторов оператора де Рама, а из векторного произведения -- внешнего произведения. Причем, заметим, и то и другое выцарапывается во многом из физических соображений!

Сообщение отредактировал M_T - 18.6.2006, 12:04

[Теоретик]

Но если строить структуру постепенно -- сначала множество, потом топологическое пространство, потом постепенно навешивать разные качества, мы увидим, какие свойства появляются, когда еще нет почти ничего

С подобным, честно говоря, я сталкивался лишь в стандартных учебных курсах. С "бытовой", обыденной точки зрения понятие метрики проще, чем понятие топологии, хотя топология - нечто более глубокое, фундаментальное. Лично мне кажется, что и математики, и физики работают похожим образом: исходят из простых, "лежащих на поверхности" вещей, а потом уже имея некий задел, копают глубже.

Поэтому я считаю, что было бы не плохо перестроить учебные курсы. И не говорить там: "Пусть B - сепарабельное, рефлексивное пространство, на котором задан оператор со свойствами:... , причем имеет место... Тогда выполняется следующее соотношение:...", а вводить все необходимые условия по пути доказательства некоторого желаемоего утверждения. Это будет больше напоминать реальную работу математика.

В конце концов многие математики (кроме самых оголтелых буквоедов и числоблудов) работают с понятиями, имеющими хоть какой-то визуальный аналог в окружающем мире, поэтому им не чужда "физическая" красота.

[M_T]

Ага! Узнал новый термин -- рефлексивное пространство. Скинешь определение? А то Google в основном про философию выдает ссылки, и еще, что такое пространство удовлетворяет теореме Радона-Никодима. Теорему я знаю, а что это за пространство?..upd: вопрос снят

По делу:

С "бытовой", обыденной точки зрения понятие метрики проще, чем понятие топологии

Ну это как посмотреть... Я бы так не сказал. Это явно зависит от точки зрения.
А если совсем по делу: одно дело, как ты "работаешь" (это твоя "работа математика"), что-то считаешь, а другое -- что ты при этом думаешь о том, с чем работаешь. Можно сидеть считать функционалы Черна-Саймонса, представляя себе четырехмерное многообразие, натянутое на трехмерное, и связность в главном расслоении на нем. И считать при этом все в кординатах (потому что по-другому никак). Инвариантные термины -- это хорошо, но считаешь ты все равно "руками" и "в чиселках" (с).
Я говорю не о том, как учебники писать... Кстати говоря, так, как ты говоришь, надо учебники не писать, а читать собственно, думаю, ты так их и читаешь. И это потому полезно, что ты это сам делаешь -- если это за тебя разжуют, толку никакого не будет. А формулировки "возьмем сепарабельное ... " имхо и должны быть такими, хотя бы в справочных целях.
Давайте рассмотрим вопрос не практически, а теоретически (тем более, что у нас так должно это лучше получиться ).

Сообщение отредактировал M_T - 18.6.2006, 8:06

[OlegShvedov]

Вообще, с обобщенными функциями в нелинейном случае действительно возникают проблемы: перемножать их трудно... И здесь кроется источник квантовополевых расходимостей... И тут нужна совсем новая математика, с перенормировками... В 19-м веке такое и присниться не могло!

А с гладкостью функций в ММФ вот какая причина. Используем мы уравнение теплопроводности. А что требуется для корректности самой концепции? Чтобы вблизи каждой точки систему можно было считать пространственно однородной - тогда можно и температуру вводить. Поэтому функция заведомо должна быть непрерывной... А если разрыв - возникает новое качество, надо пересматривать исходную модель...

[Теоретик]

А если совсем по делу: одно дело, как ты "работаешь" (это твоя "работа математика"), что-то считаешь, а другое -- что ты при этом думаешь о том, с чем работаешь.

А вот я бы не стал разделять эти понятия. Все равно, когда ты обращаешь свои научные рассуждения и результаты в какую-то общепринятую форму изложения, ты стремишься донести до людей красоту тех интуитивных картин, с которыми работало, так скажем, твое сознание, пока интеллект оперировал с некими формализмами.
Я полагаю, что интуиция - это и есть наше полусознательное понимание правильности и красоты тех образов, которые мы себе представляем в ходе научной работы. А без интуиции ученый превращается в научного сотрудника.

Давайте рассмотрим вопрос не практически, а теоретически

Если тебя не затруднит, мог бы ты все-таки сформулировать вопрос еще раз, в более сжатой форме? Просто пока я его воспринимаю как довольно широкую тему для дискуссии, а не вопрос. Ну и, соответственно, дать более-менее четкий ответ затрудняюсь.

Сообщение отредактировал Теоретик - 17.6.2006, 22:42

[M_T]

Я выше писал про роторы и дивергенции, но, наверное, нужно подреркнуть, какое именно отношение это сюда имеет. Этот пример относится к теме в том смысле, что здесь мы тоже пытаемся отделить случайные свойства объектов от их фундаментальных свойств, за которые мы на самом-то деле эти объекты отдельно и выделяем (но которые в итоге перемешиваются со случайными свойствами). Но иетод, которым мы это делаем, вроде бы другой. Это -- метод обобщения данной конструкции (например, на другие размерности). Он продуктивен и в математике, и в физике. А метод сведения к минимуму условий -- вроде, только в математике. Почему?

2 Теоретик
Собственно это и есть та четкая формулировка вопроса, которую ты просил. Скажу еще вот так: есть в математике теория категорий, которую придумал Гротендик. Он сделал, если можно так выразиться, концептуальный шаг, сродни тому, который сделали пифагорейцы, поняв, что "2+3=5" можно изучать отдельно от объектов, которые складываются, будь то лошади или бананы. Можно изучать "два" не спрашивая: "Чего два?". Точно так же, Гротендик сказал, что можно изучать тензорное произведение, не спрашивая: "Тензорное произведение чего?" Вопрос: почему кажется, что чего-то подобного не может быть в физике? Ведь для математики это по указанным выше причинам -- мощное средство, а у физики и у математики, как справедливо указал ansobol, гораздо больше сходств, чем различий -- и по цели, и "по работе" (физиков, математиков).
Или, может, что-то такое все-таки есть?

[Теоретик]

Вопрос: почему кажется, что чего-то подобного не может быть в физике?

Может быть потому, что, как бы ни банально это звучало, физик должен работать с какими-то конкретными объектами. И построить теорию для ограниченного класса реальных объектов гораздо проще, чем некую общую концепцию для "абы чего".
А если возникает необходимость в каком-то абстрактном обобщении, мы, наверное, волей-неволей вступаем на территорию математики.
Взять тот же самый тензорный анализ. Разве он, как раздел математики, не является обобщением многих классов физических задач?
Пока мы работали в области физики, мы изучали отдельно задачи гидродинамики, электродинамики, теории упругости и т.п. И для нас, как для физиков, изучаемые в этих разделах науки объекты различны. Но как только мы захотели отвлечься от их частных свойств, и обобщить всю связанную с ними науку, мы получили классическую теорию поля, тензорные анализ как раздел математики.

[ansobol]

Пожалуй, не совсем оффтопик: появилась интересная серия комментариев о теории категорий на блоге Ars Mathematica:
Opinions of Category Theory

Is category theory the savior of mathematics, or its destroyer? Discuss.

Кстати, там есть пример очень характерной для носителей английского языка орфографической ошибки: it's вместо притяжательного местоимения its.